Les billets de leur concert sont presque tous partis dès qu’ils ont été mis en vente !

Would be more ‘Frenchy’ formulation, ‘presque’ is here to limit the ‘tous’ at the ‘mise en vente’ time. The implication is that the remaining tickets have been sold in a short time just after.

Another variation to keep your structure could be:

Les billets de leur concert sont tous partis quasiment dès qu’ils ont été mis en vente !

for both we use the compound past ‘ont été’ instead of present for the moment of the opening.

From the comments alternative formulations could be:

• Ils se sont vendus comme des petits pains dès leur mise en vente

• Ils sont partis en un éclair dès leur mise en vente

• Les entrées disponibles ont fondu comme neige au soleil.

Those formulations are more for oral speak than formal writing.

I am not convinced of the use of the verb partir here which sounds a bit awkward to me, albeit understandable. Although it may depend on regional variation in the French language, the verb vendre sounds way more appropriate in this case in my opinion.

The most common and colloquial way to say that something is sold out while emphasizing on the fact that it was sold very quickly is se … vendre en un rien de temps.

Les billets se sont vendus en un rien de temps.

Of course, you could replace se … vendre with partir and get your point across, but again, this is probably not what most french people would say here.

Google results returned for:

• “vendus en un rien de temps” -> 214 000 results
• “partis en un rien de temps” -> 135 000 results
• “vendus en un éclair” -> 24 000 results
• “partis en un éclair” -> 33 000 results
• “vendus comme des petits pains” -> 10 000 results
• “partis comme des petits pains” -> 25 000 results

De manière assez usuelle pour moi, j’ai déjà lu aussi :

Tous les billets se sont envolés en quelques minutes.

Familièrement et de manière imagée il s’agit de l’idée de disparaître brusquement. L’idée de s’en aller, s’évanouir, voire partir en effet, en fumée cadrerait plus ou moins bien, car c’est plutôt disparaître sans profit ou résultat, et ce serait sans doute une extension que d’interpréter un contexte où on est intéressé par l’achat de billets et où il n’y en a plus comme une telle absence de profit ou de résultat… Autrement je suis habitué de voir partir avec un sujet au pluriel dans un contexte de solde d’inventaire dans un locution comme tout doit partir/disparaître (fort similaire à everything must go)… tout doit être écoulé.

Évidemment à l’extérieur d’un registre plus familier on a mentionné ailleurs vendre pronominal, à mon avis plus clair que partir seul avec une précision de temps mais construit « à l’extérieur » d’une expression plus figée avec des prépositions en/comme etc. et un substantif. En d’autres mots à mon avis se sont tous vendus est plus clair que sont partis + [indication de temps], mais pas nécessairement que partir comme/en un éclair etc. J’entends mieux s’envoler que l’auxiliaire être avec partir ici, que j’emploierais il me semble davantage avec des êtres vivants. Enfin on pourrait aussi dire, je crois, et c’est parfois techniquement exact, qu’on a affiché complet instantanément (dès…) puisque tous les billets se sont ainsi vendus, pour ainsi dire…