Une petite recherche dans wikipedia donne :

La maîtrise d’ouvrage (MOA), aussi dénommée maître d’ouvrage est l’entité porteuse du besoin, définissant l’objectif du projet, son calendrier et le budget consacré à ce projet. Le résultat attendu du projet est la réalisation d’un produit, appelé ouvrage.

La maîtrise d’ouvrage maîtrise l’idée de base du projet et représente, à ce titre, les utilisateurs finaux à qui l’ouvrage est destiné.

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Le terme maîtrise d’œuvre (souvent abrégé MOE ou MŒ ou Moe ou moe) désigne l’entité retenue par le maître d’ouvrage afin de réaliser le projet dans les conditions de délais, de qualité ainsi que de coûts fixés par ledit projet, le tout conformément à un contrat.

La maîtrise d’œuvre va être la conception du projet, et de son organisation.

La maîtrise d’ouvrage a la volonté du projet et va s’assurer que celui-ci soit mené à bien en respectant un cadre fixé par le client. Elle peut être fait par le client ou par l’entreprise qui réalise le projet.

D’après le Wikitionaire :

maîtrise d’œuvre féminin met.ʁiz dœvʁ

• (Bâtiment et travaux publics) Conception d’un bâtiment et direction des travaux. Mission du maître d’œuvre.

• (Par extension) Conception et réalisation d’un ouvrage ou d’une partie d’un ouvrage.

maîtrise d’ouvrage féminin met.ʁiz du.vʁaʒ

• (Bâtiment et travaux publics) Rôle de l’ordonnateur de travaux, du futur propriétaire de l’ouvrage terminé. rôle du maître d’ouvrage.

• Donneur d’ordre au profit de qui l’ouvrage est réalisé.

Réponse courte :

Quand une entreprise A (prestataire) réalise un projet (par exemple, réaliser un site Internet) pour l’entreprise B (client) :

MOE (maîtrise d’oeuvre) : les personnes de l’entreprise A chargées du projet
MOA (maîtrise d’ouvrage) : les personnes de l’entreprise B qui supervisent la réalisation qu’ils achètent.

Voici un mnémonique :

À la fin de l’œuvre, il reste l’ouvrage.

• Celui qui paye récupère l’ouvrage, c’est le maître d’ouvrage.
• Celui qui est payé a œuvré, c’est le maître d’œuvre.