C’est un mot très familier, qui signifie de nos jours: nul, raté, pourri, que ce soit d’une personne, d’un objet, d’une situation, avec une connotation négative assez forte.

Un autre sens est très usé / fatigué / fichu / cassé : pour une personne ou un objet:

Je suis (complètement) naze = Je suis totalement fatigué / fourbu.

Le transistor est naze = le transistor est fichu.

Comme il est employé essentiellement à l’oral, à l’écrit les deux sont possibles.

L’origine vient de nez.

Dictionnaire culturel en langue française (sld Alain Rey) :

Nase ou Naze adj. probablement dérivé (1917) de nase, faux nase, maladie de chevaux (morve) et des moutons, dérivé du radical latin de nasus « nez », ou de l’allemand Nase (nez). Le mot semble être apparu comme nom : le nazi (1878), lazi dès 1836 au sens de « syphilis ».*

Les deux orthographes, nase et naze, sont employées, si les dictionnaires donnent nase en premier c’est probablement à cause de l’ordre alphabétique.

Pour un objet ou pour une situation le sens est le même, ça veut dire que c’est foutu, pourri.
Foutu et pourri sont uniquement familiers, nase est argotique.

Pour une personne ça veut dire qu’elle est très fatiguée, et parfois, selon le contexte, ivre. Là aussi l’emploi de nase est argotique.

^{*Il est probable (mais à confirmer) qu’il s’agisse de la maladie de Borna, observée d’abord en Allemagne au 19e siècle et qui se transmet en particulier par les sécrétions nasales.}