Yes, but you would need another relative pronoun or conjunction. Both que and qui can be used as relative pronouns. What invokes the subjunctive makes the difference, as many phrases are impersonal, using que as a subordinating conjunction. For simplicity’s sake, all these examples are sentences that use the subjunctive after the relative pronoun que or qui or the subordinating conjunction que (like in il faut que).

Que is used when the subjects of the clauses are different.

Il est temps que tu te taises. (Il ≠ tu, que as subordinating conjunction)
C’est le meilleur film que j’aie vu. (le film ≠ je, que est un pronom relatif)

Qui is used when the subject is the same as the relative proposition. Your example is perfect when the qui means tel que or telle que. Note that the indicative or conditional can work with some contexts, as it’s more current, and it depends on what you mean.

Elle est la seule personne qui puisse nous aider. (Elle = qui)

Je cherche quelqu’un qui sache parler français. (quelqu’un = qui)

Dont also works with superlatives that invoke the subjunctive like le seul dont

De mes cousins, je suis la seule dont les yeux soient bruns.

BDL for reference.

It is true that the subjunctive follows the form "que" very often. But this is not the sole possibility. Essentially, it is used after certain locutions (ending with "que", but "que" is not parsed as a word then), in certain fixed expressions, and after relative pronouns.

A general reference on the French subjunctive is this article from the BDL.

Here follow certain parts of it relative to where the use of this mood is required.

(BDL) Les emplois du subjonctif sont nombreux. Dans la majorité de ses emplois, le subjonctif apparaît dans une proposition subordonnée, d’où son nom sub-jonctif, du latin subjungere, qui signifie « subordonner, mettre sous la dépendance de ». On le trouve notamment dans des subordonnées introduites par un verbe qui exprime le doute, l’incertitude, la crainte, la supposition, l’éventualité, le regret, le souhait, la nécessité, etc.

Subjonctif après certaines locutions conjonctives
Subjonctif dans certaines expressions figées

Subjonctif et proposition relative)

Dans les cas où la subordonnée est une proposition relative introduite par que (aussi appelée subordonnée relative en nouvelle grammaire), on emploie généralement l’indicatif. Toutefois, l’emploi du subjonctif est aussi possible, selon le sens de la phrase.

Si la proposition principale est négative, interrogative ou hypothétique, la proposition relative est normalement au subjonctif.

Exemples :

• Il n’y a que cette proposition qui soit acceptable.
• En connaissez-vous d’autres qui aient la même compétence?

Lorsque la proposition relative comporte le sens de « tel que », elle peut se construire avec le subjonctif. L’indicatif (y compris le conditionnel) reste toutefois possible.

Exemples :

• Nous sommes à la recherche d’une personne qui sache se servir d’un tableur.
• (c’est-à-dire : Nous sommes à la recherche d’une personne telle qu’elle sache se servir d’un tableur.)
• Nous sommes à la recherche d’une personne qui sait se servir d’un tableur.
• Nous sommes à la recherche d’une personne qui saurait se servir d’un tableur.

Il y a des contextes où le subjonctif, le futur et le présent de l’indicatif ainsi que le conditionnel peuvent s’employer, avec des nuances de sens indiquant une plus ou moins grande éventualité dans la réalisation de l’action.
Exemples :

• Choisissez un appareil qui pourrait s’installer facilement. (conditionnel)

• Choisissez un appareil qui puisse s’installer facilement. (présent du subjonctif)

• Choisissez un appareil qui pourra s’installer facilement. (futur de l’indicatif)

• Choisissez un appareil qui peut s’installer facilement. (présent de l’indicatif)

On emploie plus souvent le subjonctif que l’indicatif après un superlatif ou l’équivalent d’un superlatif, notamment le seul (la seule) qui, le seul que, le seul dont, l’unique qui, le premier qui, le dernier que, le meilleur que, ainsi qu’après il n’y a que… qui (que, dont, etc.) et il y a peu de… que.

Exemples :

• C’est le seul ordinateur qui nous convienne.

• Il s’agit de la première imprimante qui soit dotée de cette fonction.

• Voilà le meilleur rapport que j’aie lu.

• Il n’y a que cette solution qui puisse les satisfaire.