« Au jour d’aujourd’hui », peut remplacer le « hic et nunc » des latinistes, « l’ici et maintenant » des philosophes.

Le ‘Pléonasme tautologique redondant’ est un style ‘café du commerce’ ou ‘débat télévisuel’ où chacun s’exprime en toute liberté avec les moyens dont il dispose.

Comme il fait grincer les dents académiques, il est à manier avec ironie à l’écrit, et avec connivence dans les dialogues, sinon il signe une faiblesse dans la connaissance du français, il faut alors le considérer comme une faute.

P.S. : Si l’expression ne comporte que des références au temps, à maintenant, vous remarquerez que très souvent le locuteur pointe le sol à ses pieds à l’aide d’un ou deux de ses index pour manifester l’ici pendant qu’il prononce sa phrase… tout en voulant insister sur l’instant présent.

Le Larousse et le TLFi classent la locution comme familière, le second parlant d’une « expression pléonastique, employée souvent ironiquement » (« Je ne crois donc pas à la fin du monde après la destruction de ce qui est au jour d’aujourd’hui. » de Goncourt en 1873) mais renvoyant à une remarque au Littré qui qualifiait le tour de peu recommandable tout en saluant le vers de Lamartine « L’univers est à lui [Dieu], Et nous n’avons à nous Que le jour d’aujourd’hui » et le TLFi d’ajouter entre parenthèses « le jour d’aujourd’hui = le jour qu’est aujourd’hui c.-à-d. la date, le moment que constitue le jour où nous sommes ».

Larousse définit quant à lui : « Au jour d’aujourd’hui, par les temps qui courent, actuellement » et parle d’un double pléonasme, de l’opposition entre le moment présent et le passé.

Le bon usage (Grevisse et Goosse, ed. Duculot, 14^e) note qu’au jour d’aujourd’hui exprime trois fois l’idée de jour et qu’on le trouve parfois dans la langue littéraire ; par exemple, Beauvoir, « Vous trouvez qu’au jour d’aujourd’hui, c’est vain ? ». Le contexte fait penser que ce serait l’emploi décrit au Larousse (de nos jours, par les temps qui courent ; aujourd’hui peut lui aussi avoir ce sens). On suggère de comparer avec l’emploi chez Lamartine. On s’autorise aussi diverses variations sur le thème d’aujourd’hui, par exemple Gide, « Peiné sur Corydon tout le jour d’hier et d’hui » etc. (LBU14, §1005 c, note H2). En regardant les plus anciens résultats d’un ngram on voit ça dans l’œuvre d’Amantine Aurore Lucile Dupin par exemple. Quant à l’Académie française, son site web classe la locution dans la catégorie des emplois fautifs, mais ce ne saurait être déterminant considérant l’introduction qu’on lui réserve, la timidité du verbe préférer et le fait qu’on restreigne la suggestion au cas où l’on veut parler d’une journée qu’on évoque :

Cette formule jouant sur la redondance a une résonance familière et
plaisante. Pour parler de la journée présente ou de celle que l’on
évoque, on préfèrera dire Aujourd’hui ou Ce jour. On peut aussi
recourir à la tournure ancienne Ce jour d’hui.

Ce n’est ni fautif, ni récent, c’est plus pléonastique, et ça peut être employé de manière ironique. Quant à « au jour du jour d’aujourd’hui », c’est très rare et relève de la blague (Wiktionnaire) où l’on s’amuse aux dépens de ce fameux jour d’hui…