Sur le 2ème point: cuisine peut effectivement désigner, par métonymie, l’ensemble du personnel qui travaille en cuisine.

La cuisine se plaint des nouveaux horaires.

Vous pouvez féliciter la cuisine.

À la premiere lecture et sans connaître le contexte, c’est dans ce sens que je comprends "allez, cuisine!" mais on peut plutôt attendre alors un article défini:

Allez, la cuisine!

Sur le même modèle que "allez, les verts" ou "allez l’Olympique" !

L’expression fait penser aux ordres moteur ! et action ! que l’on peut entendre durant le tournage de films, ou musique ! pour demander à un orchestre de commencer à jouer.

Vu qu’elle donne aussi un signal de départ, elle signifie très probablement ici :

Allez, cuisine ! → Allez, que la cuisine commence ! (= commencez à cuisiner)

à l’instar de :

[Allez,] musique (maestro) ! → que la musique commence ! (= commencez à jouer)

[Allez,] moteur ! → démarrez les caméras (= commencez à filmer)

[Allez,] action ! → commencez à jouer la comédie

Pour ma part, je l’interprète comme “Allez ! Cuisine !”, c’est-à-dire deux impératifs successifs.
A vrai dire, “Allez” n’est pas réellement un verbe conjugué
puisque l’on peut dire “Allez, dépêche-toi !” (c’est-à-dire utiliser deux verbes dans la même phrase en passant du vouvoiement au tutoiement).

Il me semble que “Allez !” est le plus souvent utilisé avec un verbe conjugué
quand il n’est pas tout seul. J’ai déjà cité “Allez, dépêche-toi”,
mais il y a aussi “Allez, on y va”, “Allez, je ramasse les copies”.
On l’emploie parfois avec un adverbe (“Allez, plus vite !”),
mais je n’ai jamais entendu “Allez, musique !” ou “Allez, moteur”.
En plus, dire “Allez, cuisine !” où cuisine est un nom
m’évoque “Aller cuisine”.