Ils sont synonymes. Pas de différence de sens.

Facilement est le plus utilisé. Aisément est un tout petit peu plus stylé.

facilement a un autre emploi : au moins. Il mettra facilement deux heures pour faire ce travail.

Quant aux adjectifs:

• facile a donné l’expression trop facile, et un dérivé familier fastoche.

• aisé a un autre sens: qui a des moyens (financiers), sans être riche.

à l’aise signifie: commodément, sans gêne.

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