Un peu subjectif, mais je pense que "faire patte de velours" a un sens assez proche de ce qui est décrit dans la question et présente l’avantage de faire référence au chat également.

De plus amples informations ici, que je recopie ci-dessous:

Faire patte de velours

Signification : Se donner une apparence douce et inoffensive, se
montrer aimable et arrangeant malgré ses sentiments pour obtenir
quelque chose.

Origine : Expression française qui remonte au milieu du XVIIème
siècle, longuement utilisée en parlant du chat pour prendre ensuite et
par métaphore relative à l’animal en question qui se donne une
apparence douce et inoffensive mais qui peut toutefois blesser. En
effet, le chat est parmi les animaux celui qui peut retirer ses
griffes et les ressortir à volonté.

Exemple d’utilisation : Faire la patte de velours, manière de parler
figurée pour flatter ou caresser quelqu’un. Et de peur de les blesser
faisait patte de velours. (D’Ablancourt : Dictionnaire comique)

En complément, je propose également "faire la sainte nitouche" (que j’indiquais dans les commentaires). En effet, il me semble que "faire patte de velours" ne reflète pas suffisamment l’aspect péjoratif de l’expression qu’on retrouve mieux ici. La définition ici.

Et, même source.

Faire la sainte nitouche

Signification: "faire la sainte nitouche"
signifie jouer la femme chaste et innocente et par extension fait
allusion à celle qui cache ses défauts pour se donner un air innocent.

Origine: cette expression française née et popularisée par Rabelais
dans Gargantua au milieu du XVIème siècle donne un air d’innocence
mêlé à une idée de fausseté et d’hypocrisie. Afin de mieux comprendre
ses origines , il serait logique de définir les termes qui la
composent selon les dictionnaires de l’époque. Une sainte est une
personne dont la vie est exemplaire et qui a été canonisée selon les
principes de la religion chrétienne. Elle aurait vêcu selon des
préceptes de vertu et de respect de son prochain. Elle n’approcherait
pas les plaisirs charnels et se consacrerait aux nourritures
spirituelles. La "sainte nitouche" est celle qui se veut être
innocente, irréprochable alors que tous ceux qui l’entourent
connaissent sa véritable nature.

Le texte de Rabelais de 1534, en français de l’époque "Saincte Nytouche" (chapitre 27).